少なくとも1年半以上、年単位で悩まされ続けてきた問題がついにまっとうな方法で解決しました。

私の環境で発生していた「ローカル記憶領域の書き込みが出来ません」というメッセージの原因は、Flash Playerのプラグインの設定ではなく、ブラウザ本体側の「サードパーティの Cookie とサイト データをブロックする」という設定を有効にしていたことでした。確かにニコニコ動画のプレイヤーはres.nimg.jpに配置されているため、サードパーティ扱いになるのですが、まさかFlashの扱うデータがこの括りに入るとは、今日ふとひらめくまではまったく思いもしませんでした。PPAPIのFlash Playerはブラウザと密結合しているということなのでしょうか。

解決するためには、[*.]nicovideo.jpを「許可」するように例外に追加すればOKです。何もわかっていない素人が生半可な覚悟でサードパーティCookieをブロックするなという話なのかもしれませんね。